大家好，今天小编来为大家解答二阶非齐次线性微分方程的特解这个问题，非齐次微分方程的特解和齐次的解很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！本文目录二阶非齐次微分方程的3种通解非齐次微分方程的特解有几种方法已知齐次方程的通解,怎么求非齐方程的特解非齐次微分方程的特解和齐次的解如果已知二阶常系数非齐次线性微分方程的两个特解，如何求其通解二
大家好，今天小编来为大家解答二阶非齐次线性微分方程的特解这个问题，非齐次微分方程的特解和齐次的解很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！
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二阶非齐次微分方程的3种通解
第一种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。
第二种：通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关；通解只有一个，但是表达形式可能不同，y=C1y1(x)+C2y2(x)是通解的话y=C1y1(x)+C2y2(x)+y1也是通解，但y=C1y1就是特解。
第三种：先求对应的齐次方程2y''+y'-y=0的通解。
定义
对于一个微分方程而言，其解往往不止一个，而是有一组，可以表示这一组中所有解或者部分解的统一形式，称为通解（generalsolution）。对一个微分方程而言，它的解会包括一些常数，对于n阶微分方程，它的含有n个独立常数的解称为该方程的通解。
求微分方程通解的方法有很多种，如：特征线法，分离变量法及特殊函数法等等。而对于非齐次方程而言，任一个非齐次方程的特解加上一个齐次方程的通解，就可以得到非齐次方程的通解。
非齐次微分方程的特解有几种方法
第一步：求特征根
令ar+br+c=0，解得r1和r2两个值，（这里可以是复数，例如(βi)=-β）。
第二部：通解
1、若r1≠r2，则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)。
2、若r1=r2，则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)。
3、若r1，2=α±βi，则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)。
分类
一阶线性微分方程可分两类，一类是齐次形式的，它可以表示为y'+p(x)y=0，另一类就是非齐次形式的，它可以表示为y'+p(x)y=Q(x)。
齐次线性方程与非齐次方程比较一下对理解齐次与非齐次微分方程是有利的。对于非齐次微分方程的解来讲，类似于线性方程解的结构结论还是成立的。就是：非齐次微分方程的通解可以表示为齐次微分方程的通解加上一个非齐次方程的特解。
已知齐次方程的通解,怎么求非齐方程的特解
较常用的几个：
1、Ay''+By'+Cy=e^mx
特解y=C(x)e^mx
2、Ay''+By'+Cy=asinx+bcosx
特解y=msinx+nsinx
3、Ay''+By'+Cy=mx+n
特解y=ax
拓展资料：
其他解法
①通解=非齐次方程
特解+齐次方程通解
对二阶常系数线性非齐次微分方程形式ay''+by'+cy=p(x)eax的特解y*具有形式
其中Q(x)是与p(x)同次的多项式，k按α不是特征根、是单特征根或二重特征根（上文有提），依次取0,1或2.
将y*代入方程，比较方程两边x的同次幂的系数（待定系数法
），就可确定出Q(x)的系数而得特解y*。
②多项式法：
设常系数线性微分方程y''+py'+qy=pm(x)e^(λx)，其中p，q，λ是常数，pm(x)是x的m次多项式，令y=ze^(λz)，则方程可化为：
F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x)，这里F(λ)=λ^2+pλ+q为方程对应齐次方程的特征多项式
。
③升阶法：
设y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，当f(x)为多项式时，设f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此时，方程两边同时对x求导n次，得
y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……
y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!
y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!
令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1)，依次升阶，一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可得到方程的一个特解y(x)。
④微分算子法：
微分算子法是求解不同类型常系数非齐次线性微分方程
特解的有效方法，使用微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解记忆较为方便，计算难度也可降低。引入微分算子d/dx=D，d^2/dx^2=D^2，则有y'=dy/dx=Dy，y''=d^2y/dx^2=D^2y
于是y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)可化为(D^2+pD+q)y=f(x)，令F(D)=D^2+pD+q，称为算子多项式，F(D)=D^2+pD+q即为F(D)y=f(x)，其特解为y=f(x)/F(D)。
⑤降解法：
如果已知线性微分方程对应齐次方程的一个特解，就可以用降解法求出其解，线性齐次微分方程的特解也可以用降阶法求出。
非齐次微分方程的特解和齐次的解
非齐次微分方程的特解是满足微分方程的一个特殊解，它不一定符合通用的解的形式。齐次微分方程的解一般有形如y=c1×y1+c2×y2+…+cn×yn的形式，其中y1,y2,…,yn是齐次方程的基本解，而c1,c2,…,cn是任意常数。
如果已知二阶常系数非齐次线性微分方程的两个特解，如何求其通解
缺条件，至少要有三个线性无关的特解才可以！！
关于二阶非齐次线性微分方程的特解的内容到此结束，希望对大家有所帮助。
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