自然数之和?如何广义理解“所有自然数之和”

各位老铁们好,相信很多人对自然数之和都不是特别的了解,因此呢,今天就来为大家分享下关于自然数之和以及如何广义理解“所有自然数之和”的问题知识,还望可以帮助大家,解决大家的一些困惑,下面一起来看看吧!本文目录1到50所有自然数之和全体自然数之和的意

各位老铁们好,相信很多人对自然数之和都不是特别的了解,因此呢,今天就来为大家分享下关于自然数之和以及如何广义理解“所有自然数之和”的问题知识,还望可以帮助大家,解决大家的一些困惑,下面一起来看看吧!

本文目录

  1. 1到50所有自然数之和
  2. 全体自然数之和的意义
  3. 所有自然数的倒数之和等于多少
  4. 如何广义理解“所有自然数之和”
  5. 1到500自然数之和是多少

1到50所有自然数之和

我们按照头尾结合的方法,把这50个自然分成了25组,每组中两个数的和都是51,这样25组数的总和就是:51×25=1275。这题还有一种方法:再加上这样一组数,两组数的顺序颠倒过了,两组中各一个数合成一小组都是51,一共有50小组,那么一组数的和就是:51×50÷2=1275。

全体自然数之和的意义

1+2+3+4+5+6+……=-1/12的物理意义:

这一结果在某些地方却显示出物理意义;该结果最早由大数学家欧拉发现,并记录在他的手稿当中。

数学家黎曼提出大名鼎鼎的黎曼函数,而“全体自然数之和等于-1/12”正是黎曼函数自变量取-1的结果。

印度数学家拉马努金定义“拉马努金和”,根据“拉马努金和”也可以得出“全体自然数之和等于-1/12”的结论。

弦理论物理学家发现,“全体自然数之和等于-1/12”在研究光子质量为零时起到了关键作用,这是首次发现这一数学结果存在物理意义,但是更深层的解释还未知。

所有自然数的倒数之和等于多少

自然数是等差数列,等差数列的倒数叫做调和数列。几百年以前数学爱好者(包括数学家)开始研究调和数列,并且试图求出调和数列的前n项和公式,可惜,虽然经过大家几百年的努力,仍然没有得到这种公式,一般的认为可能没有这种公式。只是得到当n很大的时候的近似公式:1+1/2+1/3+……+1/n≈lnn+C其中,lnn是n的自然对数,C=0.5772……,叫做欧拉常数,是专为调和数列发现的。

如何广义理解“所有自然数之和”

爱好数学的小朋友也许听到过这样一种说法:全体自然数的和是-1/12,也就是说:

类似这种结论的式子还有好多,例如:

看起来,这似乎显然是错的,因为等号左边应该是无穷大,而等号右边是个确定的数字,两边不应该相等。那么为什么会有这样的等式出现呢?

欧拉级数

为了理解这个等式,我们还是需要从数学家欧拉说起。欧拉曾经研究过这样一个级数求和的问题:

这里的ξ读作“可塞”,是一个希腊字母,而Σ读作“西格玛”,也是一个希腊字母,表示求和的意思。这个级数是指:把全体自然数的s次幂取倒数,再把它们求和。

这个级数有什么奇妙的性质呢?

我们首先来看s=1的情况:

这个级数称为调和级数,调和级数有无穷多项,但是越往后越小。如果最后无穷多项加起来是一个有限的数,就称为级数收敛;如果最后加起来是无穷大,就称为级数发散。大家知道这个级数是收敛还是发散的吗?

在中世纪的时候,人们已经证明了这个级数是发散的,方法很简单:放缩。我们可以把1/3变小为1/4,把1/5、1/6、1/7、1/8变小为1/8,再把1/9、…、1/16都变小为1/16,以此类推,这样整个级数就缩小了。缩小后的级数有两个1/4,加起来是1/2;有4个1/8,加起来是1/2,有8个1/16,加起来是1/2….这样一来,新的级数一定会增长到无穷大,而调和级数比缩小后的级数大,调和级数自然是发散的。

我们再来看s>1的情况。例如s=2,这时级数变为

即全体自然数平方的倒数和。它的提出是在1644年,而最终在1735年由欧拉解决,当时欧拉只有28岁。为了纪念欧拉,人们把这个问题称为巴塞尔问题,巴塞尔是瑞士第三大城市,欧拉的故乡。

欧拉指出:这个级数的和是一个很奇怪的数字,与圆周率有关。

不仅如此,欧拉以及后来的数学家证明了:只要s>1,级数ξ(s)总是收敛的,也就是虽然项数有无穷多项,但是越往后数字越小,最后加起来是一个确定的数。

如果s<1,情况又是如何呢?有读者可能已经感觉到了:s<1的时候级数ξ(s)会比调和级数更大,调和级数都发散,那么s<1的时候自然更加的发散了!这是一个合乎情理的推理,但是常人不能理解的欧拉居然算出了s=-1,-2和-3时的级数和。

我们以s=-1为例。此时级数变为

为了计算这个和,欧拉首先计算了一个函数的幂级数展开式:

这个展开式的计算并不难,类似于等比数列求和的方法,我们后面会给大家介绍。从这个式子出发,欧拉把x=-1代入其中,得到

这个式子已经非常奇怪了,因为按照我们理解,等号右边应该如果两项两项的看,应该一直在增大才对,怎么会变为-1/4呢。

欧拉继续对这个内容进行操作:他把右边所有负的项放在一起,又进行了填补:

这样一来,就得到了全体自然数的和:

欧拉用类似的办法计算了全体自然数的平方和为零,全体自然数的立方和为1/120。

解析延拓

一边是越来越大的发散级数,一边是一个确定的数字,看似非常不合理。问题出在哪里呢?其实,欧拉的问题在于没有考虑收敛性的问题,也就是他将一个不在定义域范围内的数字代入了表达式。

为了能够理解这个问题,我们必须首先弄清楚一个概念:解析延拓。

如果有一个函数f(x),它的定义域是A1,另外一个函数g(x),定义域是A2,A1完全包含于A2,并且在A1的范围内,f(x)与g(x)完全相同,那么我们可以说g(x)是f(x)的延拓。我们用一个图表示出来:

有一个函数f(x),它只在x取0.5到1之间的值时候有意义,超过了这个范围就没有意义了。另一个函数g(x)在x属于全体实数的时候都有意义,并且在0.5到1之间,两个函数完全重合,那么我们就称g(x)是f(x)的延拓。

如果仅仅是这个条件,那么延拓的方法有无穷多种,因为我们可以在f(x)的两边随意画出各种各样的曲线。但是人们规定了一个更强的条件:如果延拓之前的函数处处可导,延拓之后的函数也是处处可导,那么这种延拓称为解析延拓。如果可导这个概念不好理解,我们大致可以理解成“非常光滑”,我们常见的函数如三角函数,指数函数,对数函数等,都满足这个性质。虽然解析延拓的真正含义比这个复杂,但基本内涵就是这样。人们在研究过程中发现了一个结论:如果给出了一个解析函数,那么它的延拓方法是唯一的。

我们不妨来举一个例子:

这是一个等比数列求和,只有在-1<x<1的范围内才能求出一个收敛的结果,此时这个数列称为无穷递缩等比数列,就是一个比一个小的意思。他可以通过错位想减得到结果,即将等号两边同时乘x,得到:

再把这个数列与第一个数列做差,得到

这样我们就得到了

我们可以令

显然,如果单独看g(x),它的定义域范围是x不等于1,比f(x)的定义域范围大。而且在-1到1之间,两个函数是完全重合的,这两个函数都是解析函数,于是我们就可以说g(x)是f(x)的解析延拓。

如果我们把x=1/2代入,那么无论代入f(x)还是代入g(x),二者的结果都是相同的,因为1/2在两个函数的定义域范围里。因此

如果我们把x=2代入,那么f(x)就没有意义了,g(x)还是有意义的,显然此时二者不能相等。如果我们强硬的代入x=2并且还认为二者相等,就会得到:

这样荒谬的结论。

我们打一个比方:很多年前人和猴子都是一样的祖先,后来人进化了,猴子没有进化,相当于人进行了解析延拓。人进入课堂学习数学,就可以成为一个数学家,这必然是没有错,那么有人说猴子进入课堂也能成为数学家,这显然是不对的。

欧拉当时就没有搞清楚这个概念,所以得出了全体自然数的和等于-1/12这样奇怪的结果。

黎曼ζ函数

欧拉在1740年研究的这个问题,在一百年以后由德国数学家黎曼解决了。

黎曼对欧拉研究的数列

进行了解析延拓。欧拉研究的这个函数只有在s是实数,并且s>1时才是收敛的,但是如果进行解析延拓,那么它就可以在s是不等于1的全体复数的时候都有意义。实数对应数轴上的点,而复数对应复平面内的点。关于复数的含义和计算方法,请移步我的另一篇文章:最美公式——欧拉恒等式阅读。

(传送门:https://www.wukong.com/answer/6575143058856214787/?iid=44550281974&app=wenda)

黎曼函数有许多种形式,其中一种是:当s是一个复数且s不等于1时

由于s是一个复数,而函数的结果也是一个复数,它具有实部和虚部,所以我们要画出这个函数图像必须采用一种比较奇怪的方法:定义域着色。大概的意思是用不同的颜色表示一个复数的模和幅角。

这样画出的黎曼函数长这个样子:

神奇的是,当s取-1时,黎曼函数的值ζ(-1)果然等于-1/12,当s取-2时,黎曼函数的值ζ(-2)果然等于0,当s取-3时,黎曼函数的值ζ(-3)果然等于1/120。也就是说,一百年前的欧拉虽然没有搞清楚解析延拓的概念,但是却得出了与解析延拓后完全相同的结果。只是这个结果并不能用自然数的和、平方和和立方和表示而已。欧拉果然就是欧拉。

说到这里,大家是不是明白了?1+2+3+4+…=-1/12并不是合理的,只是左边级数进行了解析延拓之后得到了右侧,而左侧级数此时已经没有意义了。黎曼函数的意义不仅如此,它的应用非常广泛,尤其在质数领域,黎曼函数具有非常重要的意义。著名的黎曼猜想就是关于黎曼函数的猜想。

1到500自然数之和是多少

通过高斯定律(1十500)X(500÷2)=125250

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